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光學設計者如何判斷光學鏡頭的性能？

來源(yuan)：閱讀(du)：1052 發布時間：2022-06-02 10:59:09

雖然像差曲線圖(tu)可以很好地(di)給光學設計者提(ti)供一(yi)個(ge)鏡頭的(de)性(xing)能，但(dan)是通常(chang)，特別是對鏡頭的(de)使用者或(huo)評定(ding)者，非常(chang)需要一(yi)個(ge)客觀的(de)標(biao)準。

調制傳遞(di)函數(shu)（MTF）就是(shi)這樣一個廣泛使(shi)用(yong)的標準(zhun)，其用(yong)于(yu)非相干光成(cheng)像(xiang)的評(ping)價，其關(guan)注的是(shi)像(xiang)的對比(bi)度(du)或銳度(du)。

實際上(shang)，現代許多鏡頭直(zhi)接以 MTF 性能(neng)來(lai)衡量好壞。

如(ru)圖1所示(shi)，考(kao)慮一個(ge)光(guang)學系統對強度正弦(xian)分布的(de)光(guang)柵(zha)成像。對于非相干(gan)光(guang)成像，可(ke)以看出，像的(de)強度也是正弦(xian)分布，但是對比(bi)度下降。

圖1 一(yi)個光學系統的物像對比

MTF 是(shi)像(xiang)的(de)對(dui)比度(du)除以物的(de)對(dui)比度(du)；很(hen)顯然(ran)，它是(shi)空(kong)(kong)間(jian)頻率的(de)函數，在光學設(she)計中經常使(shi)用 MTF 關于空(kong)(kong)間(jian)頻率（通常單位(wei)是(shi)“線對(dui)/mm”）的(de)函數圖。

光學傳遞函(han)數的(de)定義為：

嚴格來說，我們應該區分光學傳遞函(han)數(OTF)和調制傳遞函(han)數(MTF)。

OTF 是一個矢量，其(qi)包括像的相位和振幅，其(qi)中振幅就是 MTF。

實(shi)(shi)(shi)際(ji)上，光學設計主要考慮的(de)就(jiu)(jiu)是 MTF。而相(xiang)位(wei)項，有(you)時候也稱為(wei)相(xiang)位(wei)傳遞(di)函(han)數(shu)（PTF），表(biao)示(shi)實(shi)(shi)(shi)際(ji)正(zheng)弦(xian)像(xiang)(xiang)相(xiang)對理想(xiang)正(zheng)弦(xian)像(xiang)(xiang)的(de)偏(pian)移(yi)，這(zhe)個偏(pian)移(yi)用相(xiang)位(wei)角隨空(kong)間頻率的(de)變化函(han)數(shu)表(biao)示(shi)。若相(xiang)位(wei)超過 180°，那么(me) MTF 就(jiu)(jiu)可能(neng)是負的(de)。這(zhe)表(biao)示(shi)相(xiang)位(wei)逆轉，這(zhe)種逆轉會導致(zhi)像(xiang)(xiang)的(de)對比度也逆轉。現實(shi)(shi)(shi)中，許多鏡頭的(de)高頻可能(neng)會出現這(zhe)種情況。

理論

對于非相干光照明的系統，其 MTF 可以用線擴散函數的 Fourier transform 求得。通常，MTF是用這種方法求得。

但是可以用自相關積分來快速求解衍射 OTF：

其中， D(s)=OTF，A=光瞳區域，S是兩個光瞳重疊區域，W波前像差，s是簡化的空間頻率，等于fλ/NA，NA是數值孔徑。

幾何近似

在幾何光學近似中，我們假設λ接近于零，因此 MTF（子午方向）為：

這是對整個光瞳進行積分，實踐上，可以用簡單的求和來近似求解。

實際求解

因為我們不僅需要知道弧矢方向的，而且還需要知道子午方向的MTF，所以求解弧矢方向的 MTF 用下式：

而求解子午方向的 MTF 用下式：

追跡大量的（通常超過 100 條）光線是很方便的，但是求和計算的時候，只考慮實際通過系統的光線。我們還要對多種波長的光線進行追跡，求和時波長的權重可以不同。

很容易給幾何 MTF 添加一個校正因子，只要把幾何 MTF 乘以理想系統的衍射 MTF 就行。這樣的結果使得幾何 MTF，不僅在大像差系統是精確的，而且在小像差系統也是精確的。但是，對于中等像差，幾何MTF 通常會給出令人失望的結果。

現在，我們要決定追跡多少環的光線。按圖2的方式取光線，可以看出半圓中每個小區域的面積都相等。很容易看出，若有n環的光線，則總光線數是2n 。當光學系統是對稱的（關于子午y面對稱），為了節約時間，程序不需要計算x負方向的光線。

圖2 計算幾何MTF的取線方式

衍射極限

有限光瞳口徑的鏡頭對正弦物成像時，其衍射 MTF 的極限頻率為：

例如對于一個f/2的鏡頭，其數值孔徑NA為0.25，當波長λ是0.0005 mm時，截止頻率為：

這個頻率對應空間周期為 0.001 mm（1 μm）的光柵，但是注意，這個頻率對應的 MTF值是零。對于 500 / cycles mm ，理想鏡頭的 MTF 約為 40% ，所以使用f/2，這是一個更為實際的頻率。

ZEMAX里的(de)MTF

用于 ZEMAX 里的 MTF，既作為一個評價工具，又作為一個優化手段。

上圖中，總共有四條曲線，兩條是子午MTF曲線，另兩條是弧矢MTF曲線，其中0°視場的子午MTF曲線弧矢MTF曲線是重合的；而2°視場的子午MTF曲線弧矢MTF曲線差別比較大，這是因為，對于離軸情況下PSF變成了非對稱的，導致了PSF沿著子午和弧矢方向的寬度和輪廓有所差別。所以與近軸（或幾何）像卷積后，將導致兩個方向上有一個差量。這同時意味著，在兩個方向上，分辨率也是不同的。